\[P(z_k| x_k) = N(C_kx_k, Q)
\tag{2.7}\]
我们已经假设状态量符合高斯分布，根据贝叶斯公式，可以得到如下公式：
\[N(\hat{x}_k, \hat{P}_k) =\etaN(C_kx_k, Q) \cdotN(\tilde{x}_k, \tilde{P}_k)\tag{2.8}\]两侧都是高斯分布，我们带入高斯分布的公式，只需要保证指数部分相同 ， 无需理会前面的因子部分 。可以得到如下公式：
\[{(x_k - \hat{x}_k)}^T {\hat{P}^{-1}}_k (x_k - \hat{x}_k) ={(z_k -C_kx_k)}^T \hat{Q}^{-1}_k (z_k - C_kx_k) +{(x_k - \tilde{x}_k)^T} {\tilde{P}^{-1}_{k}} (x_k - \tilde{x}_k)\tag{2.9}\]我们需要根据上述这个公式推导出\(\hat{x}_k\)和\(\hat{P}_k\) 。
这里是通过系数相等进行了化简，我在这里简写一下：
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\hat{P}^{-1}_k =C^T_kQ^{-1}C_k + \tilde{P}^{-1}_k\\ \\-2\hat{x}^T_k\hat{P}^{-1}_kx_k =-2z^T_k Q^{-1}C_kx_k - 2\tilde{x}^T_k\tilde{P}^{-1}_kx_k\end{array}\right.\tag{2.10}\]我们记作\(K = \hat{P}_kC^T_kQ^{-1}\)得到如下公式：
\[\left\lbrace\begin{array}{l}\hat{P}_k =(I - KC_k) \tilde{P}_k\\ \\\hat{x}_k = \tilde{x}_k + K(z_k -C_k \hat{x}_k)\end{array}\right.\tag{2.11}\]这个部称为更新 。
总结kalmanFilter的用法
- 预测
\[\tilde{x}_k = A_k\hat{x}_{k-1} + u_k, \quad\tilde{P}_k = A_k\hat{P}_{k-1}A^T_k + R\tag{2.12}\] - 更新：先计算K（卡尔曼增益）， 然后更新后验概率的分布 。
\[\begin{array}{l}K = \hat{P}_kC^T_k(C_k\tilde{P}_kC^T_k + Q_k)^{-1}\\ \\\hat{P}_k =(I - KC_k) \tilde{P}_k\\ \\\hat{x}_k = \tilde{x}_k + K(z_k -C_k \hat{x}_k)\end{array}\tag{2.13}\]
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