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2022数学高考复习资料整理( 三 )

A生活百科


(3) 求在非线性约束条件下的最值问题;
(4) 考查线性规划问题在解决实际生活、生产实际中的应用.而其中的第(2)(3)(4)点往往是命题的创新点 。
【例1】 设函数f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ ， 其中 ， 角θ的顶点与坐标原点重合 ， 始边与x轴非负半轴重合 ， 终边经过点?p(x,y)? ， 且0≤θ≤?π? 。
(1) 若点p的坐标为12,32 ， 求f(θ)的值;
(2) 若点p(x,y)为平面区域ω：x+y≥1,x≤1,y≤1 。上的一个动点 ， 试确定角θ的取值范围 ， 并求函数f(θ)的最小值和最大值 。
分析 第(1)问只需要运用三角函数的定义即可;第(2)问中只要先画出平面区域ω ， 再根据抽画出的平面区域确定角θ的取值范围 ， 进而转化为求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函数的最值 。
解 (1) 由点p的坐标和三角函数的定义可得?sin?θ=32 ， ?cos?θ=12 。
于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2 。
(2) 作出平面区域ω (即三角形区域abc)如图所示 ， 其中a(1,0) ， b(1,1) ， ?c(0,1)?.于是0≤θ≤?π?2,
又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6 ， 
且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3 ， 
故当θ+?π?6=?π?2 ， 即θ=?π?3时 ， f(θ)取得最大值 ， 且最大值等于2;
当θ+?π?6=?π?6 ， 即θ=0时 ， f(θ)取得最小值 ， 且最小值等于1 。
二、 基本不等式
基本不等式是不等式的重要内容,也是历年高考重点考查的知识之一 。它的应用几乎涉及高中数学的所有的章节,高考命题的重点是大小判断、求最值、求范围等.大多为填空题 ， 试题的难度不大 ， 近几年的高考试题中也出现了不少考查基本不等式的实际应用问题 。
【例2】 心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1 ， 则x 天后的存留量y?1=4x+4;若在t(t>0)天时进行第一次复习 ， 则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计) ， 其后存留量y?2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分 ， 其斜率为a(t+4)?2(?a
(1) 若a=-1,t=5 ， 求“二次复习最佳时机点”;
(2) 若出现了“二次复习最佳时机点” ， 求a的取值范围 。
分析 关键是分析图像和理解题目所表示的含义 ， 建立函数关系 ， 再用基本不等式求最值 。
解 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y ， 
由题意知 ， y?2=a(t+4)?2(?x-?t)+8t+4(?t>?4),
所以y=y?2-y?1=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4(t>4) 。
当a=-1,t=5时 ， 
y=-1(5+4)?2(x-5)+85+4-4x+4
=-(x+4)81-4x+4+?1≤?-2481+1=59 ， 
当且仅当x=14 时取等号 ， 所以“二次复习最佳时机点”为第14天.
(2) y=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4?=--a(x+4)(t+4)?2-?4x+4+8t+4-a(t+4)(t+4)?2?≤-2-4a(t+4)?2+?8-at+4 ， 当且仅当-a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即x=2-a(t+4)-4 时取等号 ， 
由题意2-a(t+4)-4>t ， 所以-4
点评 基本不等式在每年的高考中几乎是从不缺席的. ， 关键是要注意运用基本不等式的条件：一正、二定、三相等 。
三、 不等式的求解
【例3】 对于问题：“已知关于x的不等式ax?2+bx+c>0的解集为(-1,2) ， 解关于x的不等式ax?2-bx+c>0” ， 给出如下一种解法：
参考上述解法 ， 若关于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集为-1,-13∪12,1 ， 则关于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的解集为? ?。
分析 观察发现ax?2+?bx+?c>0将x换成?-x得??a(-x)?2+?b(-x)+c>0 ， 则解集也相应变化 ， -x∈(-1,2) ， 则?x∈?(-2,1) ， 不等式kx+a+x+bx+c<0将x换成1x得不等式kxax+1+bx+1cx+1<0 ， 故1x∈-1,-13∪12,1 ， 分析可得答案 。
解 由ax?2+bx+c>0的解集为(-1,2) ， 得a(-x)?2+b(-x)+c>0的解集为(?-2?,1) ， 即关于x的不等式ax?2-bx+c>0的解集为(-2,1) 。
若关于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集为-1,?-13?∪12,1
则关于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的可看成kx+a+x+bx+c<0中的x用1x代入可得 ， 则有1x∈?-1?,-13∪12,1从而解得x∈(-3,?-1?)∪(1,2),故答案为(-3,-1)∪(1,2) 。


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